アートボードがオブジェクトの形通りに変更できない

noko_nokoさんが書かれているように、jpegは「透明」に対応していません。jpegだと「残ってしまう」のではなく、平たく言うと絵柄が何もないところは「白にする」という画像形式です。

一方のpng形式は「透明」を持つことができるので、絵柄が何もないところを透明にすることもできます。

参考：https://www.attend.jp/desine_171028

jpeg画像の背景を白くしたくないのであれば別の色を入れるしかありません。

どうしてjpegがいいのか、他の画像形式では駄目なのか、用途に合わせて再検討されてはいかがでしょうか。

pngやjpegの保存（書き出し）の方法は何通りかありまして。

どのメニューコマンドでやられたかわかりませんが、アートボードがオブジェクトに合わせられているのであれば、

ファイル > 書き出し > 書き出し形式　なら保存場所とファイル名を決めるダイアログの下部に「アートボードごとに作成」チェックを入れてください。

ファイル > 書き出し > Web用に保存（従来）　なら詳細画面に「アートボードサイズでクリップ」チェックを入れてください。

以上で解決しない場合は、より具体的な情報を追加してください。スクリーンショットなどでもわかりやすいです。