イラレで作ったaiデータをJPEGで解像度300にすると画像が小さくなる

オブジェクトがベクターのみで、解像度の足りないラスターデータをリンクや埋め込みで使用していないのが前提ですが、jpegに書き出す際に適切なサイズを指定すれば大きく書き出しができます。

例えばA4サイズ縦で300ppiならアートボードサイズが幅2480x高さ3508px必要です。「web用に書き出し」でも「スクリーン用に書き出し」でもどちらでもピクセルサイズ指定で書き出しはできるので試してみてください。

オブジェクトにPhotosop効果を使用している場合は、効果メニュー＞ドキュメントのラスタライズ効果設定　を高解像度に設定する必要があります。

まず、そのロゴのサイズや解像度の仕様はどのように指定されていますか？　それから、どの様な設定でどれくらいのサイズのオブジェクトをどのように書き出そうとしていますか？
例えば1000px×300pxという仕様が与えられているのであればアートボードを指定サイズで作って、そこにデザインすればJPGを生成する際にスクリーンに書き出しの様な機能でイメージ通りアートボードを書き出すことが出来ます。
納品物やコンペへの提出物の作成においては与えられた仕様に応じてドキュメントの設定を調整する必要があります。