古いOS（Sierra10.12.6）で使っていたillustraterが使えません

macOS 12はApple自体もサポートも、2019年9月末を最後にアップデータも提供されていないので、サポート終了して3年は経過している環境です。

セキュリティリスクやAdobe以外のアプリケーション対応も考えると、サポートされる環境に移行を行うべきでしょう。

OSとしては11以降になり、できれば12にするのがいいでしょう、

13はAdobeアプリケーションの対応がまだ正式な状態ではなく、一部環境で不具合も起きているので、現時点ではまだ様子見したほうがいいところです。

Illustratorのバージョンはなんでしょうか？

両端末の詳細や正しいバージョン情報は問題解決に必要な物だとお考えください。

また、CCデスクトップアプリケーションはログイン・ログアウト出来ますか？

サブスクリプションの場合、定期的に情報の確認をバックグラウンドでやってますが、サブスクリプションの情報を正常に取得出来ないなどの問題が生じている可能性があるかと思います。

基本的にこのページにあるトラブルシューティングのおかしいなと思ったらの各項目を見ていく必要があるのですが、古いバージョンは既に再インストール出来ませんからご注意を。