スタビライザーで撮影した動いているテレビ画面に他の動画をはめ込みたい

こういった作業はPremiere ProよりもAfter Effectsの方が適していると思います。

（Premiere Proだけで行おうとすると、逆に難しく手間がかかるうえに、クオリティもあまり高くなくなる可能性がございます。）

違和感なくという部分では、正確にトラッキングすることのほか、テレビ画面にピッタリと枠を合わせたうえで、エッジを馴染ませるブラーを適切にかけることと、カメラのシャッター角度とAfter Effectsのシャッター角を合わせてモーションブラーの雰囲気を合わせることも大事かと思います。

そして映像の質感も「テレビに映っている」感じを出すための色調や荒さの加工が必要になると思うのですが、私が類似する作業を行う場合は、実際にテレビに合成するべき映像を表示させて、それをほぼ実際に使うサイズで（モアレが気になる場合は若干サイズを調整して）カメラで撮影することもあります。

しかしながら、色調やノイズ、走査線っぽいアーティファクトなどを後処理で入れた方が演出的には効果的といったケースもあるかと思いますので、演出プランに合わせて手法をお選びいただくと良いのではないかなと思います。

モーショントラッキングが必要なため、After Effectsの作業になります。