mp4形式で書き出し後の動画が明るくなる原因と対策について教えてください。

この問題は、ざっくり申しますと「解決策は無い」のが現実です。

「明るくなって書き出される」のではなく、macOSがビデオ映像を「ビデオの慣習」には沿わずに静止画系で用いられる手法でリニアで表示してしまうのが原因です。

ビデオ映像はガンマ約1.96で表示すると「リニア」になるのですが、昔からの伝統（技術的にはCRT：ブラウン管モニターの表示を基準としています）で暗所でガンマ2.4、比較的明るめの場所でガンマ2.2で表示する決まりがありまして、macOSがそれを無視しているとも言えます。

Premiere ProのカラーマネージメントがONの場合、Rec.709の映像を「編集やグレーディングスタジオなど暗い環境での視聴」に適したガンマ2.4固定になるのも、少し悩みの種になります（明るいところで見る場合はガンマ2.2程度が適切と言われています。これは人間の目の特性によるものです）。

正確ではない情報も多く出回ってしまっているので、なかなか心苦しいのですが、この問題は「macOS」側の仕様なので、例えばYouTube公開や放送などなど、macOS以外のWindowsやテレビ放送で見られる場合には、関係のないものとなります。

つまり、「Lutなどを用いてMacでの見た目で合わせると、Mac以外の他の環境で再生するとやや暗く色が濃くなる」ということになります。

（もっとも、表示機器の違いによる性能のばらつきも大きいのですが……。iOSデバイスの挙動は、私は確認しておりません……。）

そのうえで、今回の問題はLUTを使うとノイズが出るということですので、LUTではなく「ガンマ補正（約1.22）」を用いてしのぐという手はあると思います。

しかしながら、これはあくまでも「Macで見る場合限定」の補正となりますので、視聴環境がMac以外のケースも考えられる作品の場合には、こういった補正は行わない方が良いのではないかと思います。