外付けハードディスクの読み込みができない

外付けハードディスクに firmware 更新が公開されていないか確認されることをお勧めします。

すでにCkunさんも記載されていますがAeではなくPC側のトラブルに見受けられます。

PCを通常の使用(ネットサーフィンなど)で問題ない場合、

・Aeを使うことで多量の電力が消費されるのでUSBポートに回っていない

・外付けHDDやポートの接続トラブル

憶測ですが上記の可能性が強いのかなぁという印象です。

お書きいただいた情報からは、After Effectsの問題である可能性は低いように思います。

可能でしたら、エラーメッセージが表示されたときのスクリーンショットを貼っていただけるとより状況が伝わりやすくなると思います。

勝手に外付けHDDが取り外しされてしまう不具合の場合、HDDの空きが問題であることは可能性としては低く、例えばHDD付属ではない長い（もしくは細い）USBケーブルやHUBの使用などで電力不足になっているですとか、HDDやパソコン本体の不具合やOS側の問題（主にドライバ）で強制的に取り外しが行われてしまっている可能性など、複数の原因が考えられると思います。