Ae の書き出しで色がくすむ

添付画像を拝見しますとMacをお使いのようなので、おそらくmacOSのカラーマネージメントがRec.709の映像をガンマ約1.96で表示するという「macOS側の仕様」によるものではないかと思います。

>なぜが書き出したH264のデータをAEに取り込むとなぜかAEの画面の色と同じ色が再現されます。

という点から、After Effects自体の問題では無いと判断してよいと思います。

macOSのカラーマネージメントシステムのこの仕様は少々厄介なものでして、最終的にどのように作品を公開するかによって対応が変わってきますので、「このようにしたら万事解決」という方法は存在せず、対応策はケースバイケースとなります。

ディスプレイのカラープロファイルがRec.709以外の設定になっていないでしょうか。
ディスプレイもRec.709に切り替えて試してください。

After Effectsのプレビュー画面は、プロジェクトのカラープロファイルの色で表示するようになっています。