マウスのスクロールボタンのプッシュをハンドツール；のショートカットとして設定できますか？

お使いのPC環境が分かりませんが、「ハンドツールのショートカット」＝「スペース」キーのプレス（押下）として試してみました。

macOS環境で「ステアーマウス」というマウスボタンのカスタマイズユーティリティを使用し、スクロールボタンのプッシュに「スペース」キーを割り当てましたが、「プレス」することができないようで、動作しませんでした…

ツールの切り替えであれば、ホイールボタンに「H」キーを割り当てることで可能になると思います。