動画のノイズを消すためには

このレベルのノイズだと、再生しているとけっこう目立つのかなかと思います。
とはいえPrでこれを除去するかなり難しいかと、、、

Ckunさんと同じですがPrを使用されているのであれば私も「Neat Video」をおすすめします。
Aeも使用される場合はPrとAe別々のライセンスが必要になるので、どちらか好みの方を買うのが良いです。
個人的にはPrでの編集が多いのならPrを買うほうが良いです。
PrはNeat video適用後にレンダリングさえすればけっこうスムーズに再生できますが、AeだとPCスペックがそれなりに必要になるので、、、ｗ

また、その他の選択肢としては他のPlug-inで「Magic Bullet Denoiser」というのもありますが、
Davinch Resolveという別の編集ソフトの有償版で使用できるノイズ除去がけっこう強力なのでおすすめです。

あとはシャドウ部分をなるべく下げて見えにくくするとかになりそうですが、全体的な表現もあると思うのでどこまで許容できるかでしょうか、、、

添付していただいた画像からはノイズの性質がわからないのですが、もしかするとカメラ内でノイズ除去的な動作やコーデックによるディテールの消滅で、ザラザラというよりはモサモサしている感じになっているかもしれないですね。

手間やクオリティを考えますと、市販のプラグインを使用するのが現実的ではないかと思います。After Effectsも使えるプランでご利用でしたら、グレイン除去や本来の用途ではないもののアップスケールのノイズ軽減も効果があるかもしれません（ノイズの性質によります）。

市販のプラグインですと、たとえば「Neat Video」といったものがあります。デモ版もあるので、購入前に効果を試していただくこともできるかと思います。

色味については、premiere Proに元から入っているLumetriカラーで調整ができると思います。