書き出したデータと音源の音が違う

基本的に、勝手に音が変わってしまうことはないはずなのですが（もしそんなことがあっては業務用の編集ソフトとして使い物になりませんので……）、ひとつの可能性として、MP4書き出し時のAAC圧縮のビットレートが低すぎることが考えられます。音重視の作品でしたら、最低でも256kbpsは必要かと思います。

（理想的にはリニアPCMが良いと思うのですが、映像を含めて最終的な用途によってフォーマットをお決めいただくと良いと思います。）

そしてもう一つ、お使いになっている「MP4を再生したソフト」側や音関係のドライバ類で、何らかの加工が入っている可能性があります。音質改善目的の機能は、バイノーラル録音とは相性が悪いと思います。

ひとまず、AACのビットレート設定をご確認いただくことと、書き出したMP4をPremiere Proに読み込んで、Premiere Proのソース画面で再生して音をご確認いただくといかがでしょうか。