SDカードに共有フォルダを指定できません。

PC用の外部ストレージとしてはSDカードはお勧めしません。一番問題になるのがアクセス速度の遅さです。
理論値としての最速であるClass2のUHS-Iにしても最大読み出し・書き込み速度は100MBを少し超える程度です。一方USB-Cでは10GbpsですからUSB Cで接続された外付けSSDなどでは実効値で1000MB/s程度のアクセス速度を持ちます。PCのストレージは基本的のこの様な性能のものを想定して設計されていますので、ここに常時低速メディアへのアクセスを行う必要が生じると処理の遅延が常態化します。SDカードはPC用のストレージには向かないと考えたほうが良いです。

時々そのようなものを見るのですが、exFATフォーマットのストレージをmacOS 13や12でうまく扱えない、ということがあります。

これはAdobeアプリケーションの問題ではなく、OS側の問題のようです。

今回の場合はAPFSやHFS+フォーマットしたものを用いてどうなれるかを確認してみましょう。

またアプリケーションでのディスクアクセスについては、システム設定のプライバシーとセキュリティのほうでフルディスクアクセスに登録すれば行えるはずですが、OS側の問題の場合、これで改善しない場合はあり得ます。

あとそれとは別にですが、SDカードやUSBメモリなどのフラッシュストレージは、あまり信頼性の高いメディアではないので、データファイルを置くのであれば、HDDやSSDの利用をおすすめします。