CS6とCreative Cloudは同居できません。
Creative Cloudの初期アプリケーションはCS6で、Adobe IDにあるサブスクリプション情報の有無でどちらになるかが決まっています。
CS6永続ライセンス→Creative Cloud追加の時点でCS6はサブスクリプション版として動いています。
それもあり、Creative Cloudを解約したとしても、契約していたAdobe IDを使うと、そちらの情報が優先され、解約扱いで使えなくなります。
今回の場合も同じになるので、結局そのままCreative Cloud版としてログインして2台状態で使うことが無難、ということになります。
Adobe IDは複数人での共有は許諾されていませんし、同一の利用者であるはずですから、それで対応できるのではと思います。
(逆にCreative Cloud契約がある時点で古いCS6の利用自体があまり必要ないのでは、と思うところです)
ちなみにレガシーアプリケーションの認証回りは今年1月に変わっています。
アドビのレガシーアプリのライセンス認証時や再インストール時に発生する問題の修正
また最近になってサポート終了しているレガシーアプリケーションの認証台数超過時もサポートでの調整はなくなっています。
CS6自体は2014年にテクニカルサポートはなくなっていますし、本来は認証サーバ自体の廃止の予定もありました。
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